Unicamp - Vestibular Nacional 1996
2a.Fase - Matemática


1. Uma folha retangular de cartolina mede 35 cm de largura por 75 cm de comprimento. Dos quatro cantos da folha são cortados quatro quadrados iguais, sendo que o lado de cada um desses quadrados mede x cm de comprimento.
a) Calcule a área do retângulo inicial.
b) Calcule x de modo que a área da figura obtida, após o corte dos quatro cantos, seja igual a 1.725 cm2.


2..

a) Quais são o quociente e o resto da divisão de 3785 por 17?
b) Qual o menor número natural, maior que 3785, que é múltiplo de 17?


3. Na expressão m = a + 3b - 2c as letras a, b e c só podem assumir os valores 0, 1 ou 2.
a) Qual o valor de m para a = 1 , b = 1 e c = 2?
b) Qual o maior valor possível para m ?
c) Determine a, b e c de modo que m = -4.


4. Após ter corrido 2/7 de um percurso e, em seguida, caminhado 5/11 do mesmo percurso um atleta verificou que ainda faltavam 600 metros para o final do percurso.
a) Qual o comprimento total do precurso?
b) Quantos metros o atleta havia corrido?
c) Quantos metros o atleta havia caminhado?


5. Para um conjunto X = {x1, x2, x3, x4} a média aritmética de X é definida por:


e a variância de X é definida por:


Dado o conjunto X = {2, 5, 8, 9}, pede-se:
a) Calcular a média aritmética de X.
b) Calcular a variância de X.
c) Quais elementos de X pertencem ao intervalo :


6. Sejam A, B, C e D os vértices de um quadrado de lado a = 10cm; sejam ainda E e F pontos nos lados AD e DC, respectivamente, de modo que BEF seja um triângulo equilátero.
a) Qual o comprimento do lado desse triângulo?
b) Calcule a área do mesmo.


7. Uma elípse que passa pelo ponto (0,3) tem seus focos nos pontos (-4,0) e (4,0). O ponto (0,-3) é interior, exterior ou pertence à elípse? Mesma pergunta para o ponto (5/2,13/5). Justifique suas respostas.


8. Resolva o sistema:


9. Seja

onde a, b, c e d são números reais.
a) Mostre que x = 2 é uma raíz do polinômio p(x).
b) Mostre que as outras duas raízes de p(x) também são reais.
c) Quais as condições sobre a,b,c e d para que p(x) tenha uma raíz dupla, x ¹ 2?


10. Ache todos os valores de x, no intervalo [0, 2p], para os quais



11. Um tetraedro regular, cujas arestas medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A, B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente, nos pontos R, S e T.
a) Calcule a altura do tetraedro ABCD.
b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro regular.
c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2 centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento das arestas do tetraedro ARST.


12 Encontre os valores inteiros de m para os quais a equação:


tem pelo menos uma raíz inteira. Para cada um desses valores de m, ache as 3 raízes das equações (do terceiro grau) correspondentes.


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