2a. Fase - Matemática

1. O gráfico abaixo, em forma de pizza, representa as notas obtidas em uma questão pelos 32.000 candidatos presentes à primeira fase de uma prova de vestibular. Ele mostra, por exemplo, que 32% desses candidatos tiveram nota 2 nessa questão.

Pergunta-se:

a) Quantos candidatos tiveram nota 3 ?
b) É possível afirmar que a nota média, nessa questão, foi £ 2? Justifique sua resposta.

2. Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$8,00 a mais que o estudante B.

a) Qual era o valor da Bolsa?
b) Quantos reais economizou cada um dos estudantes, naquele mês?

3. O quadrilátero formado unindo-se os pontos médios dos lados de um quadrado é também um quadrado.

a) Faça uma figura e justifique a afirmação acima.
b) Supondo que a área do quadrado menor seja de 72cm², calcule o comprimento do lado do quadrado maior.

4. O preço unitário de um produto é dado por:

onde k é uma constante e n é o número de unidades adquiridas.

a) Encontre o valor da constante k, sabendo-se que quando foram adquiridas 10 unidades, o preço unitário foi de R$19,00.
b) Com R$590,00, quantas unidades do referido produto podem ser adquiridas?

5.

a) De quantas maneiras é possível distribuir 20 bolas iguais entre 3 crianças de modo que cada uma delas receba, pelo menos, 5 bolas?
b) Supondo que essa distribuição seja aleatória, qual a probabilidade de uma delas receber exatamente 9 bolas ?

6. Os lados de um triângulo medem 5, 12 e 13 cm.

a) Calcule a área desse triângulo.
b) Encontre o raio da circunferência inscrita nesse triângulo.

7. Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.

a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja e q > 0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão.

8. Dada a função , encontre:

a) O valor de x para o qual f(x)=1.
b) Os valores de x Î R para os quais f(x) é um número real menor que 1.

a) Encontre as constantes a, b, e c de modo que o gráfico da função y=ax²+bx+c passe pelos pontos (1,10), (-2,-8) e (3, 12).
b) Faça o gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais.

a) Encontre todos os valores reais de x para os quais .
b) Encontre todos os valores reais de x e y satisfazendo x²+4x cosy+4 =0

11. Se z = x+iy é um número complexo, o número real x é chamado parte real de z e é indicado por Re(z), ou seja, Re(x+iy)=x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem à equação , ao qual se acrescenta o ponto(2,0), é uma circunferência.
b) Ache a equação da reta que passa pelo ponto (-2,0) e é tangente àquela circunferência.

12.

a) Qual é o valor de l na equação: z³ - 5z² + 8z - l =0 de modo que z = 3 seja uma raiz dessa equação?
b) Para esse valor de l , ache as três raízes z₁, z₂, z₃ dessa equação.
c) Ache o volume do sólido obtido quando a região triangular cujos vértices são os pontos z₁, z₂, z₃ gira em torno da reta de equação x = 1.